English Français Español Русский 中文 Deutsch Português عربي italiano 日本



         Некоторые вопросы сейсморазведки



 Домашняя  Сервис  Софт  Учебный материал  Контакты

Комплексные числа

Числа, которыми мы пользуемся в повседневной жизни, могут выражаться как график на одной оси, простирающейся от минус бесконечности до плюс бесконечности:
Действительные числа позволяют нам решать уравнения типа x2 = 49 Хотя некоторые числа трудно представить в одной какой-либо числовой базе (например, 7, деленное на 3, дает 2 и 1/3, что составляет 2,333333 ... в десятичных числах), они становятся весьма простыми в других (7/310 = 2.13). Другие иррациональные числа (как пи), которые не могут быть полностью представлены в любом виде цифр, все равно имеют положение в диапазоне реальных чисел, которыми мы обычно пользуемся.
 
Действительные числа позволяют нам решать уравнения типа x2 = 49. Помните, что здесь есть два ответа +7 или -7.

Проблемы появляются, когда мы пытаемся решить уравнение типа x2 = -49. Наш обычный диапазон действительных чисел не позволяет нам решить его, и раньше математики считали, что у него нет решения. В середине 16 века, тем не менее, итальянский математик Джероламо Кардано (Gerolamo Cardano) и его современники экспериментировали с решениями уравнений, содержащих квадратные корни из отрицательных чисел, и, к 1777 шведский ученый Леонард Эйлер (Leonhard Euler) ввел символ i для замены квадратного корня из -1.

Мнимые числа, получаемые с использованием символа i, не имеют физического значения, но они позволяют получить решение для всех полиномиальных уравнений (корень квадратный из -49 равняется или 7i или -7i). Они также приводят к некоторым интересным математическим решениям, типа e(pi i) = -1!

Числа, которые состоят из реальной части и мнимой части (например 22.3 + 1.925i), называются комплексными числами.

 комплексные числа могут считаться точками плоскости
Таким же образом, как реальные числа могут считаться точками линии, комплексные числа могут считаться точками плоскости.

Число a + bi определяется точкой на плоскости с координатой x равной a и координатой y равной b. Точки 1 + 4i и 2 - 2i нарисованы с использованием правила, введенного Жаном-Робертом Арганом (Jean Robert Argand), шведским бухгалтером, в 1806. Поэтому совершенно логично, что этот тип графика иногда называют графиком Аргана.
сложение комплексных чисел соответствует стандартному сложению векторов  

Если комплексное число на плоскости считается вектором, соединяющим исходную точку с той точкой, тогда сложение комплексных чисел соответствует стандартному сложению векторов.
Здесь показано комплексное число 3 + 2i, полученное путем сложения векторов 1 + 4i и 2 - 2i.

Сложное число -2 + 3i имеет реальную часть part -2 и мнимую часть 3. Сложение комплексных чисел выполняется путем сложения реальных и мнимых частей отдельно. Чтобы сложить 1 + 4i и 2 - 2i, например, складываем реальные части 1 и 2, а затем мнимые части 4 и –2, чтобы получить комплексное число 3 + 2i. Общее правило сложения таково:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Рисунки некоторых более запутанных функций комплексных чисел дали начало фрактальным рисункам

Умножение комплексных чисел основано на том, что i × i = -1. Это дает нам правило:

(a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Все обычные математически функции (логарифмы, тригонометрические функции и т.д.) могут применяться к комплексным числам (они обычно дают комплексные ответы). Рисунки некоторых более запутанных функций комплексных чисел дали начало фрактальным рисункам, весьма популярным среди художников-компьютерщиков!

Т.к. точки на плоскости могут быть записаны в условиях полярных координат r и p, каждое комплексное число z может быть записано в форме:

z = r (cos p + i sin p)

Здесь, r является модулем, или расстоянием до исходной точки, а p является аргументом z, или углом, который образует z с осью x. Если z = r (cos p + i sin p) и w = s (cos q + i sin q) – это два комплексных числа в полярной форме, тогда их произведение в полярном виде:

zw = rs (cos (p + q) + i sin (p + q))


Теперь мы перейдем к обсуждению частот, и того, какую роль в них играют комплексные числа!

два комплексных числа в полярной форме, тогда их произведение в полярном виде

Частоты ... Следующая страница