English Français Español Русский 中文 Deutsch Português عربي italiano 日本



         Некоторые вопросы сейсморазведки



 Домашняя  Сервис  Софт  Учебный материал  Контакты

Обратное преобразование

Возвращаясь еще раз к нашей верной – обратное преобразование Фурье означает просто то, что нам необходимо сложить все соответствующие составляющие частоты в каждый момент времени. В крайних левых колонках этой таблицы показаны значения амплитуды и фазы для положительных частот в преобразовании на предшествующей странице. В верхней строке данные выходные значения времени (на этот раз в обычном порядке), а каждый белый квадрат содержит результат уравнения Амплитуда*Cos(2*pi*частота*время+фаза) для каждого набора данных.

 

Время

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-0.012

-0.008

-0.004

0.000

0.004

0.008

0.012

0.016

 

Частота

Амплитуда

Фаза

Cos

Cos

Cos

Cos

Cos

Cos

Cos

Cos

 

0.00

88.00

0.00

88.00

88.00

88.00

88.00

88.00

88.00

88.00

88.00

x1

31.25

179.49

-16.04

-157.05

-49.59

86.91

172.50

157.05

49.59

-86.91

-172.50

x2

62.50

125.30

-8.26

18.00

-124.00

-18.00

124.00

18.00

-124.00

-18.00

124.00

x2

93.75

145.83

-93.35

-108.97

145.58

-96.92

-8.52

108.97

-145.58

96.92

8.52

x2

125.00

40.00

0.00

-40.00

40.00

-40.00

40.00

-40.00

40.00

-40.00

40.00

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сумма/8

-56

9

-1

88

77

-39

4

6

 

 

Мы складываем колонки, чтобы получить внизу суммы с ДВУМЯ ОГОВОРКАМИ.

Из-за того, что мы проигнорировали отрицательные оставляющие частоты, мы должны удвоить все значения для частот, отличных от 0 Гц и частоты Найквиста (125). Эти «конечные» значения имеют свои отрицательные составляющие, «встроенные», в то время как все остальные составляющие нет! Множители показаны красным в последней колонке.
Нам необходимо разделить окончательную сумму точек в оригинальном преобразовании (8 временных точек), чтобы нормализовать амплитуды.
Если мы выполним оба этих шага правильно, тогда окончательный результат (с использованием всего 5 частотных точек) будет тот же, что и при использовании всех исходных 8 точек. В общем, нам нужно только «N/2+1» дискретов в частотной области, чтобы представить «N» действительных чисел во временной области. Например, если у нас есть 1024 дискретных значений во времени, нам на деле нужно только по одному значению для 0 Гц (постоянный ток) и частоты Найквиста (ни одно из них не имеет мнимой компоненты в частотной области), и 511 комплексных значений для всех прочих частот – другими словами, 511 x 2 + 2 = 1024 дискретных значений в частотной области!




Мы показали простой способ выполнения обратного преобразования с использованием листа Excel. Возможно ли выполнение прямого преобразования подобным образом?

Ну, не настолько просто, но решение возможно. Расширяя исходное уравнение преобразования Фурье (нет, я не собираюсь приводить этого здесь!), мы обнаруживаем, что действительная компонента преобразования для любой отдельно взятой частоты может быть рассчитана путем умножения временной «трассы» на косинусоидальную волну для интересующей нас частоты и последующего суммирования всех результатов. Таким же способом мнимая часть может рассчитываться путем умножения трассы на синусоидальную волну и последующего суммирования результатов.

Вот снова наш исходный пример, на этот раз преобразование рассчитывается из перекрестного умножения косинусов и синусов:

 

 

F=0

F=31.25

F=62.5

F=93.75

F=125

Время

Амплитуда

Cos

Sin

Cos

Sin

Cos

Sin

Cos

Sin

Cos

Sin

-0.012

-56

1.00

0.00

-0.71

-0.71

0.00

1.00

0.71

-0.71

-1.00

0.00

-0.008

9

1.00

0.00

0.00

-1.00

-1.00

0.00

0.00

1.00

1.00

0.00

-0.004

-1

1.00

0.00

0.71

-0.71

0.00

-1.00

-0.71

-0.71

-1.00

0.00

0.000

88

1.00

0.00

1.00

0.00

1.00

0.00

1.00

0.00

1.00

0.00

0.004

77

1.00

0.00

0.71

0.71

0.00

1.00

-0.71

0.71

-1.00

0.00

0.008

-39

1.00

0.00

0.00

1.00

-1.00

0.00

0.00

-1.00

1.00

0.00

0.012

4

1.00

0.00

-0.71

0.71

0.00

-1.00

0.71

0.71

-1.00

0.00

0.016

6

1.00

0.00

-1.00

0.00

1.00

0.00

-1.00

0.00

1.00

0.00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Умножить/Сложить

88.00

0.00

172.51

49.58

124.00

18.00

-8.51

145.58

40.00

0.00

 

 

Действ.

Мнимое

Действ.

Мнимое

Действ.

Мнимое

Действ.

Мнимое

Действ.

Мнимое

 

Первые две колонки содержат исходную временную функцию. Колонки, обозначенные "F 0" содержат косинусоидальную и синусоидальную волны с частотой 0 Гц, следующие две – с частотой 31.25 Гц и так далее.

Ряд «Умножить/сложить» - это результат умножения колонки «Амплитуда» на соответствующую колонку синусов/косинусов и последующего сложения результатов. Рассчитанные значения – те же реальные и мнимые значения, которые были получены ранее. Хотя метод не такой быстрый, как программа для FFT, показанная ранее, его применять проще на обширных таблицах.

Хватит теории – давайте рассмотрим несколько реальных примеров!



Пример быстрого преобразования Фурье ... Следующая страница